En Apollonian Packning är en typ av fraktalbild som bildas från en samling ständigt krympande cirklar som finns i en enda stor cirkel. Varje cirkel i Apollonian Packning är tangent till de intilliggande cirklarna - med andra ord tar cirklarna i Apollonian Packningen kontakt på oändligt små punkter. Uppkallad efter den grekiska matematikern Apollonius av Perga, denna typ av fraktal kan ritas (för hand eller med dator) till rimlig grad av komplexitet och bildar en vacker, slående bild. Se steg 1 nedan för att komma igång.
Steg
Del 1 av 2: Förstå viktiga begrepp
För att vara helt tydlig, om du bara är intresserad av att rita en Apollonian Packning, är det inte nödvändigt att undersöka matematikprinciperna bakom fractalen. Men om du vill ha en djupare förståelse av Apollonian Gaskets är det viktigt att förstå definitionerna av flera begrepp som vi kommer att använda när vi diskuterar dem.
Steg 1. Definiera viktiga termer
Följande termer används i instruktionerna nedan:
- Apollonian Gasket: Ett av flera namn på en typ av fraktal som består av en serie cirklar som är kapslade inuti en stor cirkel och som tangerar alla andra i närheten. Dessa kallas också "Soddy Circles" eller "Kissing Circles".
- Radie av en cirkel: Avståndet från en cirkels mittpunkt till dess kant. Tilldelas vanligtvis variabeln r.
- Krökning av en cirkel: Radiens positiva eller negativa invers eller ± 1/r. Krökning är positiv när det gäller den yttre krökning av cirkeln och negativt för den inre krökning.
- Tangent: En term som tillämpas på linjer, plan och former som skär varandra på en oändligt liten punkt. I Apollonian Gaskets hänvisar detta till det faktum att varje cirkel vidrör varje cirkel i närheten på bara en punkt. Observera att det inte finns någon skärningspunkt - tangentformer överlappar inte.
Steg 2. Förstå Descartes sats
Descartes sats är en formel som är användbar för att beräkna storleken på cirklarna i en Apollonian Packning. Om vi definierar krökningarna (1/r) för alla tre cirklar som a, b och c, säger satsen att krökningen hos cirkeln (eller cirklarna) som tangerar alla tre, som vi kommer att definiera som d, är: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
För våra ändamål använder vi i allmänhet bara det svar vi får genom att lägga ett plustecken framför kvadratroten (med andra ord … + 2 (sqrt (…)). För närvarande är det tillräckligt att veta att subtraktionen formen av ekvationen har sin användning i andra relaterade uppgifter
Del 2 av 2: Konstruera Apollonian Packning
Apollonian packningar har formen av vackra fraktala arrangemang av krympande cirklar. Matematiskt har Apollonian Gaskets oändlig komplexitet, men oavsett om du använder ett datorritningsprogram eller traditionella ritverktyg kommer du så småningom till en punkt där det är omöjligt att rita mindre. Observera att ju mer exakt du ritar dina cirklar, desto mer kommer du att kunna passa i din packning.
Steg 1. Samla dina digitala eller analoga ritverktyg
I stegen nedan gör vi vår egen enkla Apollonian Packning. Det är möjligt att rita Apollonian packningar för hand eller på datorn. I båda fallen vill du kunna rita perfekta runda cirklar. Detta är ganska viktigt. Eftersom varje cirkel i en apollonsk packning är helt tangent till cirklarna bredvid kan cirklar som till och med är något felaktiga "slänga" din slutprodukt.
- Om du ritar packningen på en dator behöver du ett program som låter dig enkelt rita cirklar med en fast radie från en central punkt. Gfig, en vektorteckningstillägg för det kostnadsfria bildredigeringsprogrammet GIMP, kan användas, liksom en mängd andra ritprogram (se materialavsnittet för relevanta länkar). Du kommer troligen också att behöva en miniräknare och antingen ett ordbehandlingsdokument eller en fysisk anteckningsblock för att ta anteckningar om kurvaturer och radier.
- För att rita packningen för hand behöver du en miniräknare (vetenskaplig eller grafisk föreslagen), en penna, kompass, linjal (helst en skala med millimetermarkeringar, grafpapper och en anteckningsblock för anteckningar.
Steg 2. Börja med en stor cirkel
Din första uppgift är lätt - bara rita en stor, perfekt rund cirkel. Ju större cirkeln är, desto mer komplex kan din packning vara, så försök att göra en cirkel så stor som ditt papper tillåter eller så stor som du enkelt kan se i ett fönster i ditt ritprogram.
Steg 3. Skapa en mindre cirkel inuti originalet, som tangerar åt ena sidan
Rita sedan en annan cirkel inuti den första som är mindre än originalet, men ändå ganska stor. Den exakta storleken på den andra cirkeln är upp till dig - det finns ingen korrekt storlek. Men för våra syften, låt oss rita vår andra cirkel så att den når exakt halvvägs över vår stora yttre cirkel. Med andra ord, låt oss rita vår andra cirkel så att dess centrala punkt är mittpunkten för den stora cirkelns radie.
Kom ihåg att i apollonska packningar tangerar alla cirklar som berör varandra. Om du använder en kompass för att rita dina cirklar för hand, återskapa denna effekt genom att sätta kompassens skarpa punkt mitt på den stora yttre cirkelns radie, justera din penna så att den bara vidrör kanten av den stora cirkeln, rita sedan din mindre inre cirkel
Steg 4. Rita en identisk cirkel "mittemot" den mindre inre cirkeln
Låt oss sedan dra en cirkel till från vår första. Denna cirkel ska vara tangent till både den stora yttre cirkeln och den mindre inre cirkeln, vilket innebär att dina två inre cirklar kommer att röra vid den exakta mitten av den stora yttre cirkeln.
Steg 5. Tillämpa Descartes sats för att hitta storleken på dina nästa cirklar
Låt oss sluta rita ett ögonblick. Nu när vi har tre cirklar i vår packning kan vi använda Descartes sats för att hitta radien för nästa cirkel vi ska rita. Kom ihåg att Descartes sats är d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), där a, b och c är krökningarna i dina tre tangentcirklar och d är cirkelns krökning av alla tre. Så, för att hitta radien för vår nästa cirkel, låt oss hitta krökningen för var och en av de cirklar vi har hittills så att vi kan hitta krökning av nästa cirkel och sedan konvertera detta till dess radie.
-
Låt oss definiera radien för vår yttre cirkel som
Steg 1.. Eftersom de andra cirklarna är inne i den här, har vi att göra med dess inre krökning (snarare än dess yttre krökning), och följaktligen vet vi att dess krökning är negativ. -1/r = -1/1 = -1. Den stora cirkelns krökning är - 1.
-
De mindre cirklarnas radier är hälften så stora som den stora cirkelns, eller med andra ord 1/2. Eftersom dessa cirklar berör varandra och den stora cirkeln med ytterkanten, har vi att göra med deras yttre krökning, så deras krökningar är positiva. 1/(1/2) = 2. De mindre cirklarnas krökningar är båda
Steg 2..
-
Nu vet vi att a = -1, b = 2 och c = 2 för vår Descartes satsvärde. Låt oss lösa för d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Krökningen för vår nästa cirkel är
Steg 3.. Eftersom 3 = 1/r är radien för vår nästa cirkel 1/3.
Steg 6. Skapa din nästa uppsättning cirklar
Använd radievärdet du just hittat för att rita dina nästa två cirklar. Kom ihåg att dessa kommer att beröra de cirklar vars krökning du använde för a, b och c i Descartes sats. Med andra ord kommer de att tangeras till både den ursprungliga och andra cirkeln. För att dessa cirklar ska tangera alla tre cirklarna måste du rita dem i de öppna utrymmena i toppen och botten av området inuti din stora originalcirkel.
Kom ihåg att dessa cirklars radier kommer att vara lika med 1/3. Mät 1/3 tillbaka från kanten av den yttre cirkeln och rita sedan din nya cirkel. Det bör vara tangent för alla tre av de omgivande cirklarna
Steg 7. Fortsätt på detta sätt för att fortsätta lägga till cirklar
Eftersom de är fraktaler är Apollonian packningar oändligt komplexa. Det betyder att du kan lägga till mindre och mindre cirklar till ditt hjärta. Du är begränsad endast precisionen i dina verktyg (eller, om du använder en dator, förmågan hos ditt ritprogram att "zooma in"). Varje cirkel, oavsett hur liten den är, bör tangera tre andra cirklar. För att rita varje efterföljande cirkel i din packning, koppla in kurvorna i de tre cirklarna som den kommer att röra vid Descartes sats. Använd sedan ditt svar (som kommer att vara radien för din nya cirkel) för att rita din nya cirkel exakt.
- Observera att packningen vi valt att rita är symmetrisk, så radien för en cirkel är densamma som motsvarande cirkel "tvärs från den". Vet dock att inte varje Apollonian Packning är symmetrisk.
-
Låt oss ta ett exempel till. Låt oss säga att efter att ha ritat vår sista uppsättning cirklar, vill vi nu rita de cirklar som är i kontakt med vår tredje uppsättning, vår andra uppsättning och vår stora yttre cirkel. Krökningarna för dessa cirklar är 3, 2 respektive -1. Låt oss ansluta dessa siffror till Descartes sats, med a = -1, b = 2 och c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Vi har två svar! Men eftersom vi vet att vår nya cirkel kommer att vara mindre än någon av de cirklar den tangerar, bara en krökning av
Steg 6. (och därför en radie på 1/6) är vettigt.
- Vårt andra svar, 2, hänvisar faktiskt till den hypotetiska cirkeln på andra sidan tangentpunkten för våra andra och tredje cirklar. Denna cirkel är som tangerar båda dessa cirklar och den stora yttre cirkeln, men det skulle skär de cirklar vi redan har ritat, så att vi kan bortse från det.
Steg 8. För en utmaning, prova att göra en icke-symmetrisk Apollonian Packning genom att ändra storleken på din andra cirkel
Alla Apollonian packningar börjar på samma sätt - med en stor yttre cirkel som fungerar som kanten på fraktalen. Det finns dock ingen anledning att din andra cirkel nödvändigtvis måste ha 1/2 radien av den första - vi valde bara att göra detta ovan eftersom det är enkelt och lätt att förstå. För skojs skull, försök starta en ny packning med en andra cirkel av en annan storlek - detta kommer att leda till spännande nya vägar att utforska.
